\( \cos^3 x \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \cos^3 x \, dx \]

通过分离出一个余弦因子来改写积分：

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos^2 x \cos x \, dx \]

使用三角恒等式 \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) 来改写被积函数：

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx \]

展开被积函数并将积分拆分为两部分：

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int \sin^2 x \cos x \, dx \]

对第二项使用换元积分法：令 \( u = \sin x \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \) 或 \( du = \cos x \, dx \)。代入后得：

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int u^2 \, du \]

使用标准积分公式计算每一个积分：

\[ \int \cos^3 x \, dx = \sin x - \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

其中 \( c \) 为积分常数。

代回 \( u = \sin x \) 得到最终结果：